ความสำคัญของการเรียนการสอนเรขาคณิต

เรียนเรขาคณิตไปทำไม
จุดมุ่งหมายหลักของการเรียนการสอนเรขาคณิต มี 3 ประการ

ประการที่ 1 การฝึกให้เป็นคนมีเหตุมีผล การเรียนเรขาคณิตไม่ว่าจะเป็นการสำรวจหรือเริ่มต้นด้วยระบบสัจพจน์มักจะมีผลสืบเนื่องติดตามมาซึ่งไม่จำเป็นต้องสำรวจ หรือตั้งระบบใหม่ เราสามารถพิสูจน์ผลสืบเนื่องนั้น เรขาคณิตนิยมใช้การพิสูจน์บนข้อมูลที่มีอยู่ซึ่งเป็นลักษณะที่ต้องการให้คนมีเหตุผลมากกว่าจะเชื่อโชคลาง หรือเดาสุ่ม นอกจากนี้พื้นฐานของการพิสูจน์เป็นรากฐานของการเรียนกฎหมาย ในการพิสูจน์นักเรียนต้องแยกแยะได้ว่าอะไรเป็นเหตุ อะไรเป็นผลที่ต้องพิสูจน์ ส่วนใดนำมาอ้างอิงได้ แค่เพียงแยกแยะเหตุผลออกได้เองนับว่าน่าพอใจระดับหนึ่ง แต่ถ้าจะมุ่งหวังจากการเรียนเรขาคณิตอย่างเต็มที่จะมุ่งฝึกความสามารถต่อไปนี้
1. ความสามารถด้านนิรนัย
2. สามารถยกตัวอย่างค้าน ( counterexample ) สำหรับข้อความที่เป็นเท็จ

3. สามารถให้นิยามที่ชัดเจนและรัดกุม
4. รู้จักเงื่อนไขที่จำเป็น และเงื่อนไขที่เพียงพอ
5. สามารถพิสูจน์บางแบบ เช่น พิสูจน์โดยแจงกรณี ( proof by cases ) และ พิสูจน์โดยทำให้เกิดข้อขัดแย้ง ( proof by contradiction ) เป็นต้น
6. ให้รู้จักระบบสัจพจน์ บทบาท และคุณค่าของระบบสัจพจน์

ประการที่ 2 ฝึกความสามารถด้านมิติสัมพันธ์ สามารถมองโครงสร้างหรือรูปสำคัญออกจากรูปที่ซับซ้อน ( field independent ) หรือสามารถมองว่ารูปที่กำหนดให้เป็นส่วนหนึ่งของอะไรบ้าง ตลอดจนการจินตนาการในเรื่องสมมาตรแบบต่าง ๆ ทั้งการเลื่อน การสะท้อน และการหมุน และรับรู้ความผิดปกติของรูป เช่น เขียนขอบแก้วทรงกระบอกเป็นลูกรักบี้ ไม่ว่าจะมองมุมใดเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่พบความหักของโค้งบนระนาบ ความสามารถด้านมิติสัมพันธ์นี้หมายรวมถึงการกะประมาณด้วยการมองรูปหรือการสำรวจสเปซรอบ ๆ ตัวเรา เป็นเรื่องที่เด็กคุ้นเคย และให้ความสนใจตามธรรมชาติอยู่แล้ว เพียงแต่ขาดการชี้นำที่ดี ทำให้พัฒนาไม่ถึงขีดสุด และที่พบอยู่ในชีวิตจริงมักเป็นสิ่ง 3 มิติ3 มีพื้นฐานสำหรับการนำไปใช้ ทั้งด้านเทคโนโลยีทางวิทยาศาสตร์ กลศาสตร์ แสง เสียง และวิศวกรรมศาสตร์ การออกแบบทั้งด้านสัญลักษณ์และเครื่องกล การสำรวจ สถาปัตยกรรม ช่างไม้ ช่างตัดเสื้อ การเดินเรือ เช่นโครงรูปสามเหลี่ยมเป็นโครงที่แข็งแรง ใช้ยึดเสากับโครงที่ยังไม่สำเร็จ โครงรูปสี่เหลี่ยมปรับเป็นรูปสามเหลี่ยมใช้ออกแบบคีมล็อค การใช้วงเวียนและสันตรงออกแบบรูปตราสัญลักษณ์ และตัวอักษร การใช้มุมในส่วนของวงกลม ช่วยให้เรือไม่เกยหินโสโครก โดยไม่ต้องแล่นให้ไกล ฝั่งนัก เป็นต้น นอกจากนี้เราอาจใช้เรขาคณิตเป็นแบบจำลอง อธิบายผ่านมติของทางเลขคณิต เช่น เศษส่วน ทางพีชคณิต เช่น (a + b)2 , (a + b + c)2 , a3 + b3 ฯลฯ และอาจใช้เป็นสื่อกลางสำหรับการแก้ปัญหาที่ใช้หลาย ๆ ข้อผสมกัน เช่นการหาค่ามุมจากรูปเป็นการผสมผสานเลขคณิตกับพีชคณิต


ทำไมนักเรียนจึงเรียนเรขาคณิตไม่ได้ผลดีเท่าที่ควร
สมพล เล็กสกุล ได้สรุปปัญหาการเรียนการสอนเรขาคณิตไว้ดังนี้

1. อ่านโจทย์แล้วไม่เข้าใจความหมายของโจทย์หรือของทฤษฎีบทนั้น

2. ไม่สามารถแยกแยะโจทย์ได้ว่าข้อความตอนใดเป็นเหตุหรือสิ่งที่กำหนดให้และตอนใดเป็นผล หรือสิ่งที่ต้องพิสูจน์

3. นักเรียนยังขาดพื้นฐานทางเรขาคณิตบางประการจึงไม่สามารถแก้ปัญหาได้

4. ไม่สามารถหาแนวการคิดพิสูจน์ได้

5. ไม่ทราบว่าจะเริ่มต้นการเขียนอะไรก่อน

6. การลำดับขั้นตอนของการเขียนพิสูจน์ยังไม่ต่อเนื่อง ( กระโดดไปกระโดดมา )

7. เขียนการพิสูจน์วกไปวนมาไม่ได้จุดที่ต้องการ

8. ใช้วิธีท่องจำการพิสูจน์

9. มีความสนใจต่อการเรียน และการทำแบบฝึกหัดน้อยไป

10. ไม่มีความอดทนต่อการเขียนการพิสูจน์

11. ทำงานไม่เป็นระบบ ไม่มีแบบแผน รีบเร่งจนขาดความระมัดระวัง

12. เขียนรูปไม่ถูกต้อง มักจะเขียนตามความคุ้นเคยหรือเข้าข้างตัวเอง (ไม่เป็นรูปทั่ว ๆ ไป)

13. สรุปผลหรือข้ออ้างอิงจากการดูรูป หรือจากการทดลอง
กรมวิชาการโดยสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีได้จัดทำคู่มือการจัดการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โดยกำหนดมาตรฐานของหลักสูตรพุทธศักราช 2542 เกี่ยวกับเรขาคณิตไว้เป็นสาระที่ 3 ดังนี้
มาตรฐาน 3.1 : อธิบายและวิเคราะห์รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติได้

มาตรฐาน 3.2 : ใช้การนึกภาพ (visualization) ใช้เหตุผลเกี่ยวกับปริภูมิ (spatial reasoning) และใช้แบบจำลองทางเรขาคณิต (geometric model) ในการแก้ปัญหาได้
นอกจากนี้ได้กำหนดมาตรฐานการเรียนรู้ เรื่องเรขาคณิต ในช่วงชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 1-3 ไว้ดังนี้
1. เข้าใจเกี่ยวกับสมบัติความเท่ากันทุกประการและความคล้ายของรูปสามเหลี่ยม เส้นขนาน ทฤษฎีบทปีทากอ รัสและบทกลับ การนำไปใช้ในการให้เหตุผล และแก้ปัญหาได้ การสร้างทางเรขาคณิตเบื้องต้น 2 เข้าใจเกี่ยวกับการแปลง(transformation) ทางเรขาคณิตในเรื่องการเลื่อนทางขนาน(translation) การ สะท้อน (reflection) และการหมุน (rotation) และนำไปใช้ได้

3. บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุนรูปต้นแบบและสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้ ภาพที่ปรากฎเมื่อกำหนดรูปต้นแบบและภาพนั้นให้
อีกทั้งได้จัดทำตัวอย่างสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่องเรขาคณิต ในช่วงชั้น มัธยมศึกษาปีที่1- 3 ดังนี้

สาระการเรียนรู้พื้นฐาน

1. การสร้างทางเรขาคณิตเบื้องต้น (โดยใช้วงเวียนและสันตรงที่ไม่เน้นการพิสูจน์) - การสร้างพื้นฐาน - การสร้างรูปอย่างง่าย

2. การแปลง (transformation) ทางเรขาคณิต - การเลื่อนทางขนาน (translation) - การหมุน (rotation) - การสะท้อน (reflection)

3. รูปเรขาคณิตและการให้เหตุผล - สมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม - เส้นขนาน - ความคล้าย - ทฤษฎีบทปีทาโกรัสและบทกลับ

4. การวัด - พื้นที่ - ปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวยและทรงกลม - พื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก
สาระการเรียนรู้เลือก

1. การพิสูจน์ทางเรขาคณิต - สมบัติของวงกลม - การพิสูจน์เกี่ยวกับรูปเหลี่ยมและวงกลม - การสร้างเกี่ยวกับรูปเหลี่ยมและวงกลม

2. แบบรูป
จากการศึกษาหลักสูตรข้างต้น จะเห็นว่าได้มีการปรับปรุงมาตรฐานทั้งเนื้อหาและกระบวนการ ทำให้เห็นว่าจุดเน้นที่ต้องทำในการผลิตครูคือ การทำให้นักศึกษาครูมีความรู้พื้นฐานที่ครอบคลุมหลักสูตรทางเรขาคณิตในหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน อีกทั้งควรฝึกฝนให้มีความสามารถด้านกระบวนการให้เหตุผลทั้งแบบอุปนัยและนิรนัย จึงจะสามารถสอนเรขาคณิตในระดับการศึกษาขั้นพื้นฐานได้ โกมล ไพศาล (2540 )ได้ศึกษาวิจัยเกี่ยวกับสมรรถภาพของครูด้านเนื้อหาสาระทางเรขาคณิต พบว่าครูควรมีความรู้ต่อไปนี้

1. รากฐานของเรขาคณิต ประกอบด้วย

1.1 พัฒนาการของเรขาคณิตเชิงประวัติศาสตร์

1.2 ระบบสัจพจน์

1.3 โครงสร้างของเรขาคณิตระบบยุคลิด

1.4 ข้อบกพร่องในหนังสืออิลิเมนต์ของยุคลิด

1.5 สัจพจน์ของการขนานและแนวคิดที่นำไปสู่ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตนอกระบบยุคลิด
2. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตระบบยุคลิด

2.1 จุด เส้นตรง ระนาบ ส่วนของเส้นตรง รังสี และมุม

2.2 ความเท่ากันทุกประการ

2.3 เส้นขนาน

2.4 รูปหลายเหลี่ยม

2.5 ความคล้าย

2.6 การแปลงสภาพในเรขาคณิตระบบยุคลิด

2.7 ทฤษฎีบทเมเนเลาส์และทฤษฎีบทของเซวา
3. วงกลม

3.1 ความหมายของวงกลม วงกลมที่เท่ากัน และสิ่งที่เกี่ยวข้องกับวงกลม เช่นจุดศูนย์กลาง รัศมี และคอร์ด3.2 สมบัติเกี่ยวกับเส้นสัมผัสของวงกลม

3.3 สมบัติเกี่ยวกับเส้นโค้ง มุมที่จุดศูนย์กลาง และคอร์ดของวงกลม

3.4 สมบัติเกี่ยวกับมุมในส่วนโค้งของวงกลม มุมที่สัมพันธ์กับคอร์ดและเส้นสัมผัส
4. การสร้างในเรขาคณิต

4.1 การสร้างขั้นพื้นฐาน

4.2 การสร้างรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม

4.3 การสร้างวงกลมและรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าบางรูป

4.4 การสร้างรูปหลายเหลี่ยมให้มีพื้นที่เท่ากับรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ บางรูป

4.5 ปัญหาการสร้างที่มีชื่อเสียง 3 ข้อ


ข้อเสนอแนะ
หลักสูตรเรขาคณิต ครุศาสตรบัณฑิต อย่างน้อยควรเรียนรู้สิ่งต่อไปนี้

1. เรขาคณิตแบบยุคลิดและการประยุกต์

2. เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด

เทคนิคการเรียนวิชาคณิตศาสตร์

เราเรียนคณิตศาสตร์ไปเพื่ออะไร

เป้าหมายสูงสุดของการเรียนคณิตศาสตร์ก็คือ การนำไปใช้ในชีวิตประจำวัน< และการนำไปใช้เป็นพื้นฐานการศึกษาวิชาชีพต่าง ๆ หลายคนอาจสงสัยว่า ไม่เห็นต้องเรียนคณิตศาสตร์มากนัก บวก ลบ คูณหารจำนวนเราก็มีเครื่องคิดเลขใช้แล้ว นับว่าเป็นความเข้าใจผิด คณิตศาสตร์มิใช่เพียงต้องให้คิดคำนวณเกี่ยวกับตัวเลขเท่านั้น ในโลกยุคปัจจุบันเมื่อเราเรียนคณิตศาสตร์เราควรได้คุณสมบัติต่อไปนี้จากการเรียน
1. ความสามารถในการสำรวจ
2. ความสามารถในการคาดเดา
3. ความสามารถในการให้เหตุผล
4. ความสามารถในการนำความรู้ไปใช้แก้ปัญหาที่ไม่เคยพบได้อย่างมีประสิทธิภาพ คุณสมบัตินี้เรียกว่าศักยภาพทางคณิตศาสตร์ ( Mathematical Power )ไม่ว่าเราจะมีอาชีพอะไรถ้าเรามีคุณสมบัตินี้ เรียกได้ว่าเป็นคนที่มีศักยภาพทางคณิตศาสตร์ การเรียนรู้คณิตศาสตร์ ถ้าเราถูกสอนโดยวิธีครูบอกความรู้ หรือเทคนิคลัด ๆ ให้ท่องจำ นำไปใช้โดยปราศจากความเข้าใจไม่รู้ที่มาไม่รู้เหตุผล เราก็จะไม่ได้คุณสมบัติดังกล่าว อะไรคือหัวใจสำคัญของคณิตศาสตร์ เมื่อเราเรียนคณิตศาสตร์ไปจนถึงระดับมัธยมศึกษา

เราควรได้สิ่งต่อไปนี้
1. มีความรู้ใน คำศัพท์ บทนิยาม หลักการ ทฤษฎีบท โครงสร้าง วิธีการ
2. มีความเข้าใจ ในความคิดรวบยอดจนสามารถอธิบายได้ หรือเขียนได้ หรือยกตัวอย่างได้ แปลงปัญหาจากรูป หนึ่งไปสู่รูปหนึ่งได้ ประมาณคำตอบได้ ระบุความสัมพันธ์ได้ ตรวจสอบผลที่เกิดได้
3. มีทักษะต่าง ๆ ดังนี้ ทักษะการแก้ปัญหา การนำความรู้ไปใช้ในชีวิตจริง การคิดอย่างมีเหตุผล การคิดคำนวณ การวัด การประมาณ การอ่านและแปลผลข้อมูล การนำเสนอข้อมูล การทำนาย และการใช้คอมพิวเตอร์
4. มีความสามารถในการวิเคราะห์และประยุกต์ใช้

เราจะมีวิธีเรียนคณิตศาสตร์อย่างไรให้ได้ดี เราต้องเริ่มฝึกฝนการเป็นผู้เรียนที่ดี
1. เวลาฟังครู หรือเวลาอ่าน ต้อง คิด ถาม จด ถ้าไม่เข้าใจควรจดคำถามไว้เพื่อคิดค้นคว้า หรือถามผู้รู้ต่อไป
2. หมั่นดูหนังสือหรือทำการบ้านอย่างมีประสิทธิภาพ ควรหามุมอ่านหรือทำการบ้านที่เหมาะสมกับ ตนเอง
3. จัดเวลาสำหรับทบทวนสิ่งที่เรียนมา หรืออ่านล่วงหน้าสิ่งที่จะเรียนต่อไป และถ้าปฏิบัติตามที่ กำหนดได้ควรให้ รางวัลตัวเอง เช่น ได้ขนม ได้เล่น ได้ฟังเพลง ดูทีวี ได้เล่นกีฬา เป็นต้น ถ้า ทำไม่ได้ตาม กำหนดควรหาเวลาชดเชย

4. ทบทวนความรู้กับเพื่อน อย่าหวงวิชา แบ่งปันความรู้อธิบายให้กันและกัน อย่าช่วยเหลือเพื่อนใน ทางที่ผิด เช่น ทุจริตเวลาสอบ หรือให้ลอกงานโดยไม่เข้าใจ

5. ศึกษาด้วยตนเอง มิใช่ต้องเรียนจากครูเพียงอย่างเดียว การศึกษาด้วยตนเองจากตำราหลาย ๆ เล่ม ต้องทำ ความเข้าใจจดสาระสำคัญต่าง ๆ ลงในโน้ตย่อ จดสิ่งที่ไม่เข้าใจไว้ค้นคว้าต่อไป ถ้าต้องการเชี่ยวชาญ คณิตศาสตร์ ต้องหมั่นหาโจทย์แปลกใหม่มาทำมาก ๆ เช่นโจทย์แข่งขัน เป็นต้น

ทำอย่างไรเราจะจำได้ดี

เราต้องเรียนด้วยความเข้าใจเสียก่อน จากนั้นเราต้องหมั่นทบทวน ก่อนอื่นเราจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับ การจำการลืมก่อน จากการศึกษาของนักจิตวิทยาเกี่ยวกับการจำการลืมของมนุษย์พบว่า คนเรามีอัตราการจำหรือลืมดังกราฟข้างล่างนี้
จากการทดลองของนักจิตวิทยา พบว่าเมื่อเวลาผ่านไปหนึ่งวัน เราจะจำเรื่องราวที่ตนอ่านไปได้ประมาณครึ่งหนึ่ง และลดลงไปอีกครึ่งหนึ่งของที่เหลือทุก 7 วัน จนในที่สุดจะนึกไม่ออกเลย การที่จะให้สิ่งที่เรียนมาไปอยู่ติดตัวเราได้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ เราควรกลับไปทบทวนทันทีที่เราเรียนในแต่ละวัน จากนั้นเราทิ้งช่วงไปทบทวนรวบยอดในวันหยุด เสาร์ อาทิตย์ เพื่อมิให้เกิน 7 วัน จากนั้นเราทิ้งช่วงเป็น 2 สัปดาห์ควรทวนอีกครั้ง และเมื่อผ่านไป 1 เดือนควรทบเรารวบยอดทวนอีกครั้งตอนสอบกลางเทอม อย่าลืมว่าความรู้ใหม่ที่เรารับเข้าไปในแต่ละวันจะมีพอกพูนขึ้นไปเรื่อย ๆ เราควรทำโน้ตย่อสาระสำคัญรวบรวมบทนิยาม สูตร กฎ และวิธีการ เราทบทวนจากโน้ตย่อจะช่วยให้เราเสียเวลาทบทวนน้อยลง ทำไมเด็กส่วนใหญ่ไม่ชอบวิชาคณิตศาสตร์ มีหลายสาเหตุ บางคนไม่ชอบเพราะไม่ถนัด มันยากเกินไป ไม่ชอบคิด พวกนี้ไม่ค่อยจะประสบผลสำเร็จในการทำแบบฝึกหัด มักทำไม่ได้หรือทำผิดบ่อย ๆ จึงท้อแท้ เบื่อหน่าย และเกลียดในที่สุด บางคนไม่ชอบเพราะครูสอนไม่เข้าใจ สอนไม่สนุก ครูดุ จู้จี้ขี้บ่น ให้การบ้านเยอะ ทางแก้อยู่ที่ครูจะต้องสำรวจว่าเด็กไม่ชอบคณิตศาสตร์เพราะอะไร ครูต้องปรับปรุงการสอนทำของยากให้เป็นของง่าย ทำของน่าเบื่อหน่ายให้น่าสนุก และควรปรับปรุงบุคลิกให้ไม่ดุจนเกินไป ไม่เจ้าระเบียบมากจนเกินเหตุ การบ้านก็มีแต่พอควร เลือกให้เด็กทำสิ่งที่สำคัญและจำเป็นก่อน
ถ้าเราเลือกครูไม่ได้ บังเอิญเราต้องเรียนกับครูที่สอนไม่รู้เรื่อง สอนไม่สนุก ดุ จู้จี้ขี้บ่น เราต้องหาตำราหลาย ๆ เล่มมาศึกษาค้นคว้าด้วยตนเอง เมื่อไม่เข้าใจให้ปรึกษาผู้รู้ ถามกันอธิบายกันในหมู่เพื่อน ๆ เราอดทนในที่สุดเราจะพบว่า เราเป็นคนเก่งคนหนึ่ง

บทเรียนคณิตศาสตร์อะไรที่มีปัญหามากที่สุด
เรื่องที่เป็นปัญหามากที่สุด คือ โจทย์ปัญหาทุกเรื่อง วิธีการเรียนเรื่องนี้ให้ได้ดีต้องเริ่มจากการทำความเข้าใจโจทย์เสียก่อน มีคำศัพท์อะไรที่เราไม่รู้จักหรือลืม มีข้อความตอนใดที่เราไม่เข้าใจ เราต้องทำความเข้าใจก่อน โจทย์ถามอะไร และโจทย์กำหนดอะไรมาให้บ้าง อาจวาดภาพช่วย อาจสร้างตารางช่วย ขั้นต่อไปวางแผนแก้ปัญหา และดำเนินการแก้ปัญหา และสุดท้ายเราต้องตรวจสอบคำตอบ ขั้นตอนที่กล่าวมานี้ แนะนำโดย จอร์จ โพลยา ได้รับความนิยมมากว่า 50 ปี ที่สำคัญเราควรฝึกการแก้ปัญหาที่หลากหลายเพื่อสะสมประสบการณ์ยุทธวิธีการแก้ปัญหา ตัวอย่างปัญหาในระดับมัธยมศึกษาที่เด็กในระดับประถมศึกษาก็แก้ได้ “ มีนกและหนูรวมกัน 15 ตัว นับขารวมกันได้ 40 ขา ถามว่ามีนกและหนูอย่างละกี่ตัว ” เด็กระดับมัธยมศึกษาขึ้นไปมักจะใช้วิธีแก้สมการ เด็กระดับประถมศึกษาจะใช้วิธีวาดภาพ หัว 15 หัว แล้วเติมขาทีละ 2 ขา ได้ 30 ขา เหลือขาอีก 10 ขา นำไปเติมจะได้หนู 5 ตัว เด็กบางคนใช้วิธีลองผิดลองถูกเช่นสมมุติว่ามี นก 7 ตัว มีหนู 8 ตัว แล้วคำนวณขาว่าได้ 40 ขา หรือไม่ ถ้าไม่ได้ก็ลดหรือเพิ่มจำนวนตัวสัตว์ไปเรื่อย ๆ ก็จะพบคำตอบซึ่งอาจช้า บางคนอาจสร้างตารางแจงนับทุกรูปแบบเริ่มตั้งแต่ นก 1 ตัว หนู 14 ตัว จนถึงนก 14 ตัว หนู 1 ตัว แล้วตรวจสอบนับจำนวนขาจะได้คำตอบเช่นกัน

จะมีวิธีเตรียมตัวสอบอย่างไร
วิธีหนึ่งสำหรับคนที่มีเวลาน้อย เริ่มด้วยการทบทวนบทนิยาม สูตร กฎ วิธีการจากโน้ตย่อ จากนั้นทบทวนวิธีการแก้ปัญหาจากโจทย์ปัญหาโดยนึกว่าแผนการแก้ปัญหาสำหรับโจทย์ข้อนี้จะเป็นอย่างไรแล้วตรวจสอบจากเฉลยที่เราทำแบบฝึกหัดไว้ เราไม่ต้องลงมือแก้ปัญหาจริง เพียงแต่คิดวิธีการโดยเฉพาะข้อยากเราต้องคิดก่อน แต่ถ้าเรามีเวลามากเราก็อาจทบทวนโดยลงมือแก้ปัญหาอีกครั้งก็จะทำให้เราได้ฝึกฝนความแม่นยำ

คนที่เก่งคณิตศาสตร์จะมีประโยชน์อย่างไร
คนที่เก่งคณิตศาสตร์มีประโยชน์ต่อประเทศชาติอย่างยิ่ง เพราะคณิตศาสตร์มิใช่เป็นเพียงราชินีของวิทยาศาสตร์ดังเช่นที่เกาส์นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่กล่าวไว้ในอดีตเท่านั้น ปัจจุบันคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานของศาสตร์อีกหลายสาขาเช่น วิศวกรรมศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ เกษตรศาสตร์ ฯลฯ เราลองนึกภาพถ้าเรามีเกษตรกรที่เก่งคณิตศาสตร์ เราคงจะได้ปุ๋ยสูตรใหม่ ๆ การกำจัดแมลงวิธีใหม่ หรือพืชพันธุ์ใหม่ที่มีคุณภาพเหมาะกับบ้านเรา หรือการใช้ทรัพยากรที่มีอยู่ทำเกษตรกรรมอย่างคุ้มค่า ตลอดจนแปรรูปผลิตผลทางเกษตรให้เป็นสินค้าที่จะนำรายได้สู่ครอบครัวหรือประเทศ เรามีคนที่มีคุณสมบัติอย่างนี้น้อยมาก ประเทศชั้นนำของโลกให้ความสำคัญต่อคณิตศาสตร์อย่างยิ่ง บางประเทศพัฒนาเด็กจนสามารถมีเด็กเก่งคณิตศาสตร์ได้ถึงร้อยละ 40 เช่นสิงคโปร์ ไต้หวัน บางประเทศถ้าเห็นว่าคณิตศาสตร์ของประเทศตนแย่ลงเพียงเล็กน้อยก็จะทุ่มเทให้ความสำคัญเช่นสหรัฐอเมริกา แต่ประเทศเรามีคนเก่งคณิตศาสตร์ตามธรรมชาติปริมาณไม่เกินร้อยละ3 โดยที่ความเก่งนั้นเมื่อเทียบกับต่างประเทศเรายังอยู่ในอันดับท้าย ๆ เราให้ความสำคัญในด้านนี้น้อยเกินไป ประเทศเรามีนักคณิตศาสตร์ประมาณ 30 คน มีคนเล่าว่าเวียตนามมีถึง 600 คน ปัจจุบันเราต้องจ้างศาตราจารย์ทางคณิตศาสตร์ชาวเวียตนามมาสอนในมหาวิทยาลัย