ความสำคัญของการเรียนการสอนเรขาคณิต

เรียนเรขาคณิตไปทำไม
จุดมุ่งหมายหลักของการเรียนการสอนเรขาคณิต มี 3 ประการ

ประการที่ 1 การฝึกให้เป็นคนมีเหตุมีผล การเรียนเรขาคณิตไม่ว่าจะเป็นการสำรวจหรือเริ่มต้นด้วยระบบสัจพจน์มักจะมีผลสืบเนื่องติดตามมาซึ่งไม่จำเป็นต้องสำรวจ หรือตั้งระบบใหม่ เราสามารถพิสูจน์ผลสืบเนื่องนั้น เรขาคณิตนิยมใช้การพิสูจน์บนข้อมูลที่มีอยู่ซึ่งเป็นลักษณะที่ต้องการให้คนมีเหตุผลมากกว่าจะเชื่อโชคลาง หรือเดาสุ่ม นอกจากนี้พื้นฐานของการพิสูจน์เป็นรากฐานของการเรียนกฎหมาย ในการพิสูจน์นักเรียนต้องแยกแยะได้ว่าอะไรเป็นเหตุ อะไรเป็นผลที่ต้องพิสูจน์ ส่วนใดนำมาอ้างอิงได้ แค่เพียงแยกแยะเหตุผลออกได้เองนับว่าน่าพอใจระดับหนึ่ง แต่ถ้าจะมุ่งหวังจากการเรียนเรขาคณิตอย่างเต็มที่จะมุ่งฝึกความสามารถต่อไปนี้
1. ความสามารถด้านนิรนัย
2. สามารถยกตัวอย่างค้าน ( counterexample ) สำหรับข้อความที่เป็นเท็จ

3. สามารถให้นิยามที่ชัดเจนและรัดกุม
4. รู้จักเงื่อนไขที่จำเป็น และเงื่อนไขที่เพียงพอ
5. สามารถพิสูจน์บางแบบ เช่น พิสูจน์โดยแจงกรณี ( proof by cases ) และ พิสูจน์โดยทำให้เกิดข้อขัดแย้ง ( proof by contradiction ) เป็นต้น
6. ให้รู้จักระบบสัจพจน์ บทบาท และคุณค่าของระบบสัจพจน์

ประการที่ 2 ฝึกความสามารถด้านมิติสัมพันธ์ สามารถมองโครงสร้างหรือรูปสำคัญออกจากรูปที่ซับซ้อน ( field independent ) หรือสามารถมองว่ารูปที่กำหนดให้เป็นส่วนหนึ่งของอะไรบ้าง ตลอดจนการจินตนาการในเรื่องสมมาตรแบบต่าง ๆ ทั้งการเลื่อน การสะท้อน และการหมุน และรับรู้ความผิดปกติของรูป เช่น เขียนขอบแก้วทรงกระบอกเป็นลูกรักบี้ ไม่ว่าจะมองมุมใดเป็นไปไม่ได้ที่จะไม่พบความหักของโค้งบนระนาบ ความสามารถด้านมิติสัมพันธ์นี้หมายรวมถึงการกะประมาณด้วยการมองรูปหรือการสำรวจสเปซรอบ ๆ ตัวเรา เป็นเรื่องที่เด็กคุ้นเคย และให้ความสนใจตามธรรมชาติอยู่แล้ว เพียงแต่ขาดการชี้นำที่ดี ทำให้พัฒนาไม่ถึงขีดสุด และที่พบอยู่ในชีวิตจริงมักเป็นสิ่ง 3 มิติ3 มีพื้นฐานสำหรับการนำไปใช้ ทั้งด้านเทคโนโลยีทางวิทยาศาสตร์ กลศาสตร์ แสง เสียง และวิศวกรรมศาสตร์ การออกแบบทั้งด้านสัญลักษณ์และเครื่องกล การสำรวจ สถาปัตยกรรม ช่างไม้ ช่างตัดเสื้อ การเดินเรือ เช่นโครงรูปสามเหลี่ยมเป็นโครงที่แข็งแรง ใช้ยึดเสากับโครงที่ยังไม่สำเร็จ โครงรูปสี่เหลี่ยมปรับเป็นรูปสามเหลี่ยมใช้ออกแบบคีมล็อค การใช้วงเวียนและสันตรงออกแบบรูปตราสัญลักษณ์ และตัวอักษร การใช้มุมในส่วนของวงกลม ช่วยให้เรือไม่เกยหินโสโครก โดยไม่ต้องแล่นให้ไกล ฝั่งนัก เป็นต้น นอกจากนี้เราอาจใช้เรขาคณิตเป็นแบบจำลอง อธิบายผ่านมติของทางเลขคณิต เช่น เศษส่วน ทางพีชคณิต เช่น (a + b)2 , (a + b + c)2 , a3 + b3 ฯลฯ และอาจใช้เป็นสื่อกลางสำหรับการแก้ปัญหาที่ใช้หลาย ๆ ข้อผสมกัน เช่นการหาค่ามุมจากรูปเป็นการผสมผสานเลขคณิตกับพีชคณิต


ทำไมนักเรียนจึงเรียนเรขาคณิตไม่ได้ผลดีเท่าที่ควร
สมพล เล็กสกุล ได้สรุปปัญหาการเรียนการสอนเรขาคณิตไว้ดังนี้

1. อ่านโจทย์แล้วไม่เข้าใจความหมายของโจทย์หรือของทฤษฎีบทนั้น

2. ไม่สามารถแยกแยะโจทย์ได้ว่าข้อความตอนใดเป็นเหตุหรือสิ่งที่กำหนดให้และตอนใดเป็นผล หรือสิ่งที่ต้องพิสูจน์

3. นักเรียนยังขาดพื้นฐานทางเรขาคณิตบางประการจึงไม่สามารถแก้ปัญหาได้

4. ไม่สามารถหาแนวการคิดพิสูจน์ได้

5. ไม่ทราบว่าจะเริ่มต้นการเขียนอะไรก่อน

6. การลำดับขั้นตอนของการเขียนพิสูจน์ยังไม่ต่อเนื่อง ( กระโดดไปกระโดดมา )

7. เขียนการพิสูจน์วกไปวนมาไม่ได้จุดที่ต้องการ

8. ใช้วิธีท่องจำการพิสูจน์

9. มีความสนใจต่อการเรียน และการทำแบบฝึกหัดน้อยไป

10. ไม่มีความอดทนต่อการเขียนการพิสูจน์

11. ทำงานไม่เป็นระบบ ไม่มีแบบแผน รีบเร่งจนขาดความระมัดระวัง

12. เขียนรูปไม่ถูกต้อง มักจะเขียนตามความคุ้นเคยหรือเข้าข้างตัวเอง (ไม่เป็นรูปทั่ว ๆ ไป)

13. สรุปผลหรือข้ออ้างอิงจากการดูรูป หรือจากการทดลอง
กรมวิชาการโดยสถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีได้จัดทำคู่มือการจัดการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์โดยกำหนดมาตรฐานของหลักสูตรพุทธศักราช 2542 เกี่ยวกับเรขาคณิตไว้เป็นสาระที่ 3 ดังนี้
มาตรฐาน 3.1 : อธิบายและวิเคราะห์รูปเรขาคณิตสองมิติและสามมิติได้

มาตรฐาน 3.2 : ใช้การนึกภาพ (visualization) ใช้เหตุผลเกี่ยวกับปริภูมิ (spatial reasoning) และใช้แบบจำลองทางเรขาคณิต (geometric model) ในการแก้ปัญหาได้
นอกจากนี้ได้กำหนดมาตรฐานการเรียนรู้ เรื่องเรขาคณิต ในช่วงชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 1-3 ไว้ดังนี้
1. เข้าใจเกี่ยวกับสมบัติความเท่ากันทุกประการและความคล้ายของรูปสามเหลี่ยม เส้นขนาน ทฤษฎีบทปีทากอ รัสและบทกลับ การนำไปใช้ในการให้เหตุผล และแก้ปัญหาได้ การสร้างทางเรขาคณิตเบื้องต้น 2 เข้าใจเกี่ยวกับการแปลง(transformation) ทางเรขาคณิตในเรื่องการเลื่อนทางขนาน(translation) การ สะท้อน (reflection) และการหมุน (rotation) และนำไปใช้ได้

3. บอกภาพที่เกิดขึ้นจากการเลื่อนขนาน การสะท้อน และการหมุนรูปต้นแบบและสามารถอธิบายวิธีการที่จะได้ ภาพที่ปรากฎเมื่อกำหนดรูปต้นแบบและภาพนั้นให้
อีกทั้งได้จัดทำตัวอย่างสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เรื่องเรขาคณิต ในช่วงชั้น มัธยมศึกษาปีที่1- 3 ดังนี้

สาระการเรียนรู้พื้นฐาน

1. การสร้างทางเรขาคณิตเบื้องต้น (โดยใช้วงเวียนและสันตรงที่ไม่เน้นการพิสูจน์) - การสร้างพื้นฐาน - การสร้างรูปอย่างง่าย

2. การแปลง (transformation) ทางเรขาคณิต - การเลื่อนทางขนาน (translation) - การหมุน (rotation) - การสะท้อน (reflection)

3. รูปเรขาคณิตและการให้เหตุผล - สมบัติของความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม - เส้นขนาน - ความคล้าย - ทฤษฎีบทปีทาโกรัสและบทกลับ

4. การวัด - พื้นที่ - ปริมาตรของปริซึม ทรงกระบอก พีระมิด กรวยและทรงกลม - พื้นที่ผิวของปริซึมและทรงกระบอก
สาระการเรียนรู้เลือก

1. การพิสูจน์ทางเรขาคณิต - สมบัติของวงกลม - การพิสูจน์เกี่ยวกับรูปเหลี่ยมและวงกลม - การสร้างเกี่ยวกับรูปเหลี่ยมและวงกลม

2. แบบรูป
จากการศึกษาหลักสูตรข้างต้น จะเห็นว่าได้มีการปรับปรุงมาตรฐานทั้งเนื้อหาและกระบวนการ ทำให้เห็นว่าจุดเน้นที่ต้องทำในการผลิตครูคือ การทำให้นักศึกษาครูมีความรู้พื้นฐานที่ครอบคลุมหลักสูตรทางเรขาคณิตในหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน อีกทั้งควรฝึกฝนให้มีความสามารถด้านกระบวนการให้เหตุผลทั้งแบบอุปนัยและนิรนัย จึงจะสามารถสอนเรขาคณิตในระดับการศึกษาขั้นพื้นฐานได้ โกมล ไพศาล (2540 )ได้ศึกษาวิจัยเกี่ยวกับสมรรถภาพของครูด้านเนื้อหาสาระทางเรขาคณิต พบว่าครูควรมีความรู้ต่อไปนี้

1. รากฐานของเรขาคณิต ประกอบด้วย

1.1 พัฒนาการของเรขาคณิตเชิงประวัติศาสตร์

1.2 ระบบสัจพจน์

1.3 โครงสร้างของเรขาคณิตระบบยุคลิด

1.4 ข้อบกพร่องในหนังสืออิลิเมนต์ของยุคลิด

1.5 สัจพจน์ของการขนานและแนวคิดที่นำไปสู่ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตนอกระบบยุคลิด
2. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเรขาคณิตระบบยุคลิด

2.1 จุด เส้นตรง ระนาบ ส่วนของเส้นตรง รังสี และมุม

2.2 ความเท่ากันทุกประการ

2.3 เส้นขนาน

2.4 รูปหลายเหลี่ยม

2.5 ความคล้าย

2.6 การแปลงสภาพในเรขาคณิตระบบยุคลิด

2.7 ทฤษฎีบทเมเนเลาส์และทฤษฎีบทของเซวา
3. วงกลม

3.1 ความหมายของวงกลม วงกลมที่เท่ากัน และสิ่งที่เกี่ยวข้องกับวงกลม เช่นจุดศูนย์กลาง รัศมี และคอร์ด3.2 สมบัติเกี่ยวกับเส้นสัมผัสของวงกลม

3.3 สมบัติเกี่ยวกับเส้นโค้ง มุมที่จุดศูนย์กลาง และคอร์ดของวงกลม

3.4 สมบัติเกี่ยวกับมุมในส่วนโค้งของวงกลม มุมที่สัมพันธ์กับคอร์ดและเส้นสัมผัส
4. การสร้างในเรขาคณิต

4.1 การสร้างขั้นพื้นฐาน

4.2 การสร้างรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม

4.3 การสร้างวงกลมและรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าบางรูป

4.4 การสร้างรูปหลายเหลี่ยมให้มีพื้นที่เท่ากับรูปหลายเหลี่ยมใด ๆ บางรูป

4.5 ปัญหาการสร้างที่มีชื่อเสียง 3 ข้อ


ข้อเสนอแนะ
หลักสูตรเรขาคณิต ครุศาสตรบัณฑิต อย่างน้อยควรเรียนรู้สิ่งต่อไปนี้

1. เรขาคณิตแบบยุคลิดและการประยุกต์

2. เรขาคณิตนอกแบบยุคลิด